До «Черноморца» 28-летний защитник выступал в таких украинских клубах, как «Горняк-Спорт» (Полтавская область), «Сталь» (Алчевск), «Севастополь», «Олимпик» (Донецк). Кроме того, Мищенко два года играл в чемпионате Израиля, где выступал за «Маккаби» (Нетания) и «Хапоэль» (Ашкелон).
Андрей Мищенко стал четвертым футболистом, перебравшимся в российский чемпионат в 2019 году. В начале года центральный защитник донецкого «Шахтера» и сборной Украины Ярослав Ракицкий перешел в санкт-петербургский «Зенит», спровоцировав бурю возмущения среди местных «патриотов».
Его примеру последовал бывший игрок донецкого «Шахтера» Иван Ордец, который в июне перешел в «Динамо-Москва», а также полузащитник «Александрии» Артем Полярус, сменивший украинский клуб на подмосковные «Химки».
