Борис Плотников родился в Свердловской области, окончил Свердловское театральное училище и филологический факультет Уральского государственного университета.
С 1970 по 1978 год артист служил в Свердловском ТЮЗе, потом — в Московском театра сатиры и Центральном академическом театре Советской Армии, а с 2002 года — в труппе МХТ имени Чехова.
Помимо театра Плотников работал в кино, он снялся в таких фильмах, как «Невероятное пари», «Первая встреча, последняя встреча», «Холодное лето пятьдесят третьего», «Записки сумасшедшего». В самой известной своей картине «Собачье сердце» актер сыграл доктора Борменталя.