Роман родился в 1980 году в Курске. После выпуска из школы в 1997 году поступил Тульский филиал Международного юридического института. После окончания вуза вернулся в родной Курск, где год работал в полиции в отделе экономических преступлений.
В 2002 году Алехин увольняется из полиции и становится заместителем директора по коммерческим вопросам в протезно-ортопедическом предприятии в Курске, руководителем которого был его отец.
В 2004 году открыл свой магазин ортопедических товаров.
С начала СВО Роман Алехин занимается волонтерской деятельностью, помогает российским военнослужащим.