Формально это был уже третий фильм, в котором югославский спортсмен и каскадёр сыграл краснокожего воина. Первая лента с его участием, «Виннету — вождь апачей», в том же 1964 году стала одной из самых кассовых в СССР — её посмотрели 27,6 миллиона зрителей. Однако, как и в двух других фильмах о Виннету, Гойко Митич в титрах упомянут не был, поскольку играл рядовых членов племени. А вот в ленте «Среди коршунов» актер впервые выступил в роли индейского вождя — предводителя шошонов Вокадо — и был указан в титрах как Georg Mitic.
Все вышеупомянутые фильмы были сняты киностудиями ФРГ (при участии коллег из Югославии, Италии и Франции) по романам Карла Мая об индейском вожде Виннету, которого играл французский актёр Пьер Брис. Они стали настолько популярными в ГДР, что в 1965 году руководство этой республики приняло решение запустить проект создания отечественных картин, которые смогли бы противостоять растущему влиянию западногерманских вестернов. Поначалу было запланировано 12 лент, но в результате сняли даже на одну больше.
Съемки проходили в местах, похожих на американские прерии, — в Югославии (некоторые фильмы снимались совместно с югославскими студиями) и Советском Союзе (в Грузии и Крыму). Первой в проекте стала лента «Сыновья Большой Медведицы», создавать которую поручили чехословацкому режиссёру Йозефу Маху. Теперь оставалось найти главного героя цикла вестернов. Просмотрев западногерманские фильмы о Виннету, Мах увидел в них актёра второго плана с яркой фактурой. Это и был молодой югослав Гойко Митич, выпускник Белградского института физической культуры, решивший попробовать себя в кино в качестве каскадера и эпизодника.
Актер вспоминал: «Я тогда планировал покататься на лыжах, все уже подготовил, собрался и только хотел выйти из дома, как зазвонил телефон… Из трубки: «Вы должны срочно приехать к нам!» «Но я сейчас уезжаю кататься на лыжах!» — отвечаю. Секретарша киностудии была сильно взволнована и убеждала меня приехать как можно скорее, потому что представители немецкой киногруппы скоро улетают. В конце концов, вместо лыж я поехал на встречу. Когда я у них появился, меня ждали руководитель кинопроизводства студии ДЕФА Ханс Малих и режиссер Йозеф Мах. «Вы умеете скакать на лошади?» — спросил Малих по-немецки… На что я ответил тоже по-немецки, что умею и могу показать хоть сейчас. «О, да он знает немецкий!» — чуть ли не хором воскликнули Малих и Мах. Они тут же налили сливовицы и подняли рюмки. «За Токей-Ито!» — таким был их тост… Мах с улыбкой пояснил мне, наконец, что они предлагают мне главную роль в будущем фильме. В тот момент до меня дошло, как изменчива жизнь… Вот так фильм «Сыновья Большой Медведицы», вышедший на экраны в 1966 году, определил всю мою дальнейшую жизнь». Тогда же актёр переехал на постоянное место жительства в ГДР.
После спада зрительского интереса к фильмам про индейцев Митич начал сниматься в телевизионных сериалах и играть в театре города Бад-Зегеберг, в его активе роли Труффальдино, Робина Гуда, Спартака. В 1985-1989 годы Гойко Митич поставил пять игровых телефильмов для детей о приключениях двух кукол «Ян и Тини». В 80-х годах он был ведущим спортивной программы на телевидении ГДР, с середины 1980-х годов и до сих пор играет роль Виннету на ежегодном театрализованном фестивале Карла Мая в Бад-Загеберге под Гамбургом. С 1992 года Митич — актер Мекленбургского театра (г. Шверин), из последних театральных работ — индеец в спектакле «Полет над гнездом кукушки», а также роль в мюзикле «Алекс Сорбас».
После объединения Германии и распада Социалистической Федеративной Республики Югославии Гойко Митич оставался гражданином Союзной Республики Югославии, позже Сербии. Его мать жила в Белграде, но после одной из натовских бомбардировок города в 1999 году она получила сильный стресс и потеряла способность говорить, а потом у женщины остановилось сердце. Приехать на похороны Гойко Митич не смог, поскольку дороги и аэропорты были разбиты, мосты взорваны. Только спустя полгода ему удалось добраться до Белграда и прийти на могилу матери.
С 2000 года Гойко Митич стал гражданином ФРГ, но он никогда не забывал о своих зрителях на территории бывшего Советского Союза, и о нём тоже здесь хорошо помнят. Творчеству актёра посвящены вышедшие в 2008-м книга Андрея Шарого «Знак W: Вождь краснокожих в книгах и на экране» и фильм «Главный индеец страны Советов». В 2014-м Гойко Митич стал почетным гостем V Международного фестиваля культур народов Северной Америки «Типифест», который прошел в московском культурно-образовательном центре «Этномир». Летом 2017 года он посетил Крым, вернувшись на полуостров спустя 45 лет, ведь фильм «Текумзе» снимался в окрестностях Алушты.