Сергей Бессараб родился 13 ноября 1955 года в селе Старые Кодаки Днепропетровской области. В 1977 году закончил Киевское высшее общевойсковое командное училище имени М. Фрунзе, а в 1990 году — Военную академию имени М. Фрунзе в Москве.
После окончания академии продолжил службу в Закавказском и Одесском военных округах СССР, в Северном и Южном оперативных командованиях на должностях заместителя командира, командира мотострелкового полка мотострелковой дивизии, командира учебного танкового полка, а затем заместителя начальника окружного учебного центра подготовки младших специалистов, командира механизированной дивизии.
С 2005 по май 2007 года был начальником Территориального управления «Север». С мая 2007-го — командир шестого армейского корпуса Сухопутных войск Вооруженных сил Украины. Начальник Днепропетровского гарнизона.
В мае 2012 года Бессараб занял должность первого заместителя командующего Сухопутных войск Вооруженных сил Украины.
В 2015 году стал заместителем начальника Генерального штаба Вооруженных сил Украины и командующим так называемой АТО.
По данным издания «Цензор.нет», на должности командующего Бессараб запретил украинским солдатам стрелять из артиллерии в ответ на обстрелы. В 2016 году волонтеры, которые помогали солдатам на фронте, планировали акцию протеста против командующего, утверждая, что «из-за его некомпетентности, халатности и трусости каждый день погибают солдаты».
В украинских СМИ появлялись слухи и о том, что Бессараб в 2016 году организовал коррупционные схемы осуществления закупок — речь шла о радиостанциях, за которые, по информации Национального антикоррупционного бюро, якобы переплатили 300 млн гривен. Действительно ли он причастен к этой схеме — неизвестно.
В 2016 году был уволен в запас по достижении предельного возраста для генеральской службы.