В 2003 году окончил Институт международных отношений Киевского университета им. Шевченко по специальности "международное право", впоследствии получив степень кандидата юридических наук.
С 2003 года занимал пост атташе Службы главного юридического советника Министерства иностранных дел Украины. В 2005 году — третий секретарь управления юридического обеспечения МИД.
С 2005 по 2009 год был вторым и третьим секретарем Постоянного представительства Украины при международных организациях в Вене по вопросам ОБСЕ.
В 2010-2012 годах дослужился до поста начальника отдела департамента секретариата министра иностранных дел. В 2013 году стал советником вице-премьера Украины Константина Грищенко по гуманитарным вопросам, а также возглавил Фонд культурной дипломатии UART.
В июне 2014 года вернулся на работу в МИД по приглашению бывшего на тот момент главой ведомства Павла Климкина на должность по особым поручениям в вопросах стратегических коммуникаций, где занимался формированием публичной дипломатии страны.
С апреля 2016 года был назначен постоянным представителем Украины в Совете Европы, где выступал в защиту прав человека в «оккупированном Россией Крыму», пытался привлечь Совет Европы для привлечения к реализации реформ на Украине, а также противодействовал возвращению российской делегации в ПАСЕ.
В декабре 2017 года признан наилучшим украинским послом за границей в результате опроса Института мировой политики, в котором приняли участие около 70 экспертов.
В конце августа 2019 года стал вице-премьером Украины по вопросам европейской и евроатлантической интеграции.
С 4 марта 2020 года сменил на должности министра иностранных дел Вадима Пристайко.
Во время визита в Великобританию в составе украинской делегации заявил о желании выкурить в музее сигару бывшего премьер-министра Великобритании Уинстона Черчилля «за победу Украины в войне с Россией».
Владеет украинским, русским и английским языком.
Жена — Евгения Кулеба, основатель и руководитель общественной организации «Город-сад», которая участвовала в создании Сквера «небесной сотни» на Михайловской улице в Киеве.
Кулеба также воспитывает двоих детей: 14-летнего Егора и 9-летнюю Любовь.